[일반물리학실험 #01] 포물선 운동(Projectile Motion)

 

  일반물리학에서는 등가속도 운동에 대해 배운다. 등가속도 운동의 한 예로 포물선 운동이 있다. 포물선 운동은 한 물체가 포물선을 그리면서 운동하는 것을 말한다. 포물선 운동은 운동을 묘사하는 수식이 단순하여 2차원 등가속도 운동을 이해하는데 도움을 준다. 이 게시물에서는 실험 결괏값, 제언에 대해서 다루지 않으며, 이론과 목적, 실험 방법과 분석에 대해 간단히 다룬다.

 

 

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Ⅰ. 서론(목적)

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  포물체의 운동을 x축과 y축으로 나누어 분석하는 활동 등을 통해 포물선 운동을 이해하고 포물선 운동 과정 내에서 역학적 에너지가 보존됨을 이해하는 것을 목적으로 한다.

 

 

 

 

 

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Ⅱ. 이론적 배경

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  1. 이차원 등가속도 운동

    이차원 운동에서 x축과 y축 각각의 운동은 서로의 변화가 서로에게 영향을 미치지 않기 때문에 각각의 독립된 운동으로 기술할 수 있다. 다음의 기호를 사용하여 x축과 y축의 시간에 관한 속도 식을 세울 수 있다. 

 

 

 

    운동하는 물체의 x좌표와 y좌표는 다음과 같이 t에 관하여 나타낼 수 있다.

 

 

 

  2. 포물선 운동

    포물선 운동을 경로를 이론적으로 추적하기 위하여 두 가지 가정이 필요하다. 첫째로, 자유 낙하 가속도가 일정하고 연직 방향(지평면에 대하여 수직 방향)을 향해 있어야 한다. 둘째로, 공기 저항을 무시할 수 있다는 가정이 필요하다. 수평면에 대하여 Θ만큼의 각도로 쏘아 올려진 발사체를 생각해보자. 이 발사체의 초기 속도를 v_0라고 하면 각 방향의 초기 속도는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

 

  포물선 운동에서 연직방향으로 작용하는 가속도는 중력가속도로 아래 방향으로 작용하므로 -g이다. x축 방향으로 작용하는 힘이 없으므로 x축 가속도는 0임을 알 수 있다. 발사체의 초기 위치를 (x_0, y_0)라고 하면 위치와 속도를 t에 관하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

    발사체가 최고 높이에 도달했을 때는 y축 방향 속도가 0으로, 이를 이용하여 최고 높이(H)와 걸리는 시간(t_H)을 구할 수 있다.

 

 

    y(t)=0 이 되는 시간을 T라 하고 발사체가 이동한 수평거리를 R이라고 하면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

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Ⅲ. 실험 방법

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  1. 실험도구

    포물체 발사장치, 클램프, 운동 기록용 카메라와 분석 프로그램, 플라스틱 공(발사체), 길이를 알고 있는 물체

 

 

  2. 실험 방법

    1) 발사장치를 클램프를 이용하여 탁자 위에 고정하고 각도를 조절하여 실험하고자 하는 각도를 설정한다.

    2) 카메라의 중심축을 물체의 운동 평면에 수직이 되도록 카메라를 설치하여 사용한다.

    3) 분석 프로그램을 켜고 길이를 이미 알고 있는 막대와 같은 물체를 물체가 운동하는 평면에 놓는다.

    4) 촬영을 통해 축 설정과 스케일 설정을 놓아진 물체를 이용하여 완료한다.

    5) 영상 촬영을 시작한 후 물체를 발사한다.

    6) 1 프레임 단위로 영상을 조정하여 물체의 시작 위치를 클릭하여 기록한다.

    7) 이후 1 프레임씩 이동하여 물체의 위치를 클릭해 기록한다.(잔상이 생겨 물체의 정확한 위치를 기록하기 어려울 경우 잔상의 중앙과 같은 기준을 정해 데이터에 일관성을 준다.)

    8) 위의 데이터를 excel 등을 이용하여 분석한다.

    9) 다른 각도를 설정하여 위의 과정을 반복한다.

 

 

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Ⅳ. 결과 분석 방법

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  실험을 통해 구한 데이터를 이용하여 발사 각도에 따른 그래프를 그린다. Excel을 이용해 t-x그래프의 경우 일차함수 형태의 추세선을 그리고, t-y그래프의 경우 이차함수 형태의 추세선을 그린다.

 

  식 (6)과 식 (7)을 통해 추세선의 값으로 v_0x, v_0y, a를 구할 수 있다.

 

  위에서 구한 값을 발사 각도에 따라 표로 정리한다. 이 데이터와 식 (12)을 이용하면 R(수평이동거리)를 구할 수 있다.

 

  수평이동거리가 최대가 되는 Θ값은 어떤 함수가 연속이고 미분 가능할 때, 미분 값이 0인 곳에서 함수가 극대나 극소를 가진다는 특성을 이용해 다음과 같이 구할 수 있다.

 

   x축 속도와 y축 속도를 알고 있으므로 포물체의 전체 속도를 알 수 있고 시간에 따른 y좌표는 실험을 통해 측정하였다.

이를 통해 운동에너지와 위치에너지를 계산하여 이들의 합인 역학적 에너지를 구할 수 있다. 역학적 에너지가 보존되는 지를 확인하고, 보존되지 않는다면 그 이유가 무엇일지 논의해본다.