[일반물리학실험 #04] 이차원 운동 (2-Dimensional Motion)

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Ⅰ. 서론(목적)

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등속도 운동, 등가속도 운동, 충돌에서의 이차원 운동을 기술할 수 있고 뉴턴 제2법칙을 이해할 수 있다.

 

 

 

 

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Ⅱ. 이론적 배경

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 1. 직교 좌표계 (Cartesian Coordinate)

 

직교 좌표계

  2차원 운동을 기술하기 위하여 x축과 y축을 갖는 직교 좌표계를 사용한다. 다음과 같은 벡터 a가 있을 때, x축과 y축 성분으로 나누어 a=(a1, a2)=a1*(x)+a2*(y)으로 나타낼 수 있다. 벡터 a가 x축과 theta의 각도를 이룬다고 할 때 벡터 a와 크기는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

벡터 a와 벡터 a의 크기

 

 

 2. 기울어진 평면에서의 운동

기울어진 평면의 물체 자유물체도

기울어진 평면에서 좌표계를 다음과 같이 설정하였을 때, 물체가 받는 힘은 위의 그림과 같이 표현할 수 있다. 각각 x축과 y축에 대하여,

이므로

임을 알 수 있다.

 

  같은 각도 theta로 기울어진 평면 위에서 물체는 등가속도 운동을 하므로 물체의 속도와 이동거리는 다음과 같이 나타낼 수 있다. 설정한 좌표계에서 y축 이동거리와 속도는 모두 0이므로 x축만 고려함을 주의한다.

 

 

3. 충돌

  외력이 가해지지 않아 F_ext=0인 두 물체가 충돌하는 경우를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 

완전 탄성 충돌

  외력이 가해지지 않으므로 완전 탄성 충돌이라 가정하였을 때, 충돌 전 운동량, 운동에너지와 충돌 후 운동량과 운동에너지는 같다.

 

  m1=m2이고 v_2_i=0일 때의 운동량과 운동에너지는 다음과 같다.

 

따라서,

 

충돌 후 m1과 m2의 x축과의 각도를 다음의 그림과 같다고 하였을 때,

v_2_i=0인 경우 두 물체의 충돌

식 (15)에 의하여,

임을 알 수 있다. 따라서 m1=m2이고 m2가 정지해있는 경우 두 물체가 충돌할 때, 충돌 후 두 물체가 이루는 각도는 pi/2이다.

 

 

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Ⅲ. 실험 방법

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  1. 실험 준비물

   에어 테이블. 압축기, 스케일 바, 카메라, 퍽, 분석 프로그램

 

  2. 실험 방법

   (1) 마찰이 없는 테이블과 압축기를 이용하여 테이블 위의 물체와 표면을 띄워 표면과 마찰력이 생기지 않도록 한다.

   (2) 물체의 운동을 분석하기 위해 물체의 운동면과 수직이 되도록 테이블 위에 카메라를 설치하고 스케일 바를 이용해 조정한다.

 

  가. 등속도 운동

   1) 영상 촬영을 시작하고 테이블 위에 물체를 적절한 속도로 놓는다.

   2) 프레임 단위로 영상을 돌려보며 첫 프레임부터 물체가 놓인 위치를 클릭하여 물체의 위치 데이터를 기록한다.

   3) 잔상이 발생하는 경우 잔상의 가운데를 기준으로 삼아 데이터를 기록하여 일관성을 더한다.

   4) 얻은 데이터를 이용해 , t-x, t-y그래프를 그린다.

   5) 그래프 피팅을 통해 시간에 따른 x좌표, y좌표가 일차식 꼴로 나타남을 확인하고 그 값을 기록한다.

 

  나. 등가속도 운동

   1) 일정한 가속도를 만들기 위해 테이블을 일정 각도로 기울인 후, 스케일 바를 이용하여 영점 조절을 한다.

   2) 영상 촬영을 시작하고 물체를 초기속도가 이 되도록 테이블 위에 놓는다.

   3) 프레임 단위로 영상을 돌려보며 첫 프레임부터 물체가 놓인 위치를 클릭하여 물체의 위치 데이터를 기록한다.

   4) 얻은 데이터를 이용해 , t-x, t-y그래프를 그린다.

   5) 시간에 따른 x좌표 그래프를 일차식으로 피팅하여 기울기가 무시할 만큼 작음을 확인하고 그 값을 기록한다.

   6) 그래프를 피팅하였을 때, 시간에 따른 y좌표 그래프가 이차식 꼴로 나타남을 확인하고 그 값을 기록한다.

 

  다. 충돌

   1) 영상 촬영을 시작한 후 두 물체를 테이블 위에 놓고 한 물체만을 적절한 속도로 놓아 다른 물체와 충돌하도록 한다.

   2) 프레임 단위로 영상을 돌려보며 첫 프레임부터 물체가 놓인 위치를 클릭하여 각각의 물체 위치 데이터를 기록한다.

   3) 얻은 데이터를 이용해 각 물체에 대한 , t-x, t-y그래프를 그린다.

   4) 시간에 따른 x좌표, y좌표 그래프를 일차식으로 피팅하고 그 값을 기록한다.

   5) 두 물체가 모두 초기속도를 가지고 충돌할 때와 두 물체의 질량이 다를 때에 대해 실험을 반복 진행한다.

 

 

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Ⅳ. 결과 분석 방법

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 1. 등속도 운동

 

 

  등속도 운동하는 퍽의 시간에 따른 x좌표값, y좌표값을 이용해 시간에 따른 x좌표 그래프와 시간에 따른 y좌표 그래프를 그린다. 그래프의 기울기가 각각 x축 속도, y축 속도를 의미한다. 일차함수의 형태를 나타내므로 등속도 운동임을 확인할 수 있다.

  퍽을 에어 테이블을 이용해 공중에 띄워 실험하므로, 이차식으로 그래프를 피팅하여 가속도를 마찰력과 관련지어 생각해볼 수 있다.

 

 

 2. 등가속도 운동

  기울어진 경사면에서 퍽은 등가속도 운동을 한다. 따라서 시간에 따른 y축 위치 그래프를 이차식으로 피팅하여 퍽의 가속도를 계산한다.

  위 식을 이용하여 평면이 어느 정도 기울어졌는지를 계산해볼 수 있다.

 

 

 3. 충돌

  시간에 따른 x축 위치, 시간에 따른 y축 위치 그래프를 그려 각 물체에 대한 x축, y축 초기 속도와 나중 속도, 초기 운동에너지와 나중 운동에너지, 초기 운동량과 나중 운동량을 계산한다. 운동에너지의 변화량, 운동량의 변화량도 계산해본다.

  식(19), (20)에 의해 충돌 후 각도는 이론적으로 pi/2이다. 충돌 직전과 직후의 각 물체의 x좌표, y좌표와 내적을 이용해 실제 각도를 구해본다.