[일반물리학 실험 #06] 공명관 실험(Resonance Tube)

 

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Ⅰ. 서론(목적)

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 실험을 통해 정상파가 생기는 원리와 공명 주파수를 이해할 수 있다.

 

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Ⅱ. 이론적 배경

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 파동과 파동방정식

  파동은 매질을 통해 운동이나 에너지가 전달되는 현상이다. 매질의 요소가 전파되는 방향과 수직인 방향으로 움직이는 진행파를 횡파라고 하고, 매질의 요소가 전파되는 방향과 평행한 방향으로 움직이는 진행파를 종파라고 한다.

  파동은 물체(매질)가 평형 위치로 돌아가고자 하는 복원력을 발생할 때 생기는 현상이다.

 

그림 1 파동

 

그림 1과 같이 파동이 진행할 때, 각각의 위치에서의 y좌표를 y_(i-1), y_(i), y_(i+1)이라고 하면,

이계 공간 미분과 시간에 대한 y좌표 이계 미분이 식과 같은 관계를 가지며 이를 파동방정식이라고 한다.

 

  조화진동 파동함수 y(x, t) = Acos(kx ± wt)로 나타낼 수 있다. 파동방정식은 다음과 같다.

 

조화진동 파동함수를 편미분 하면,

 

이를 파동방정식에 대입하면,

이므로 등식이 성립함을 알 수 있다. 따라서 조화진동 파동함수는 파동방정식의 해가 된다.

 

동일한 주파수, 진폭, 위상을 갖고 서로 다른 전파 방향을 갖는  ψ_1과  ψ_2가 있다고 하자.

두 파동이 간섭하여 생긴 파동의 최대 진폭은 2A임을 알 수 있다.

 

 

정상파는 시간에 따라 진동하고 있지만, 배와 마디의 위치가 변하지 않아 멈춰 있는 것처럼 보이는 파동을 말한다. 열린 관에서는 관이 끝나는 부분과 시작하는 부분에서 정상파의 배를 갖는다. 한쪽이 닫힌 관의 경우 닫힌 부분에서 마디를 갖고 열린 쪽은 배를 갖는다.

 따라서 관의 길이를 L이라 하였을 때, 그림 2와 같이 첫 번째 열린 관의 경우 양 끝부분에서 모두 배를 갖기 때문에 1개의 마디를 갖는다. L=( λ /2) x 1이 되고 두 번째 열린 관의 경우 L=( λ /2) x 2 가 됨을 통해 열린 관에서 정상파를 갖는 관의 길이 L=( nλ /2) (n = 1, 2, 3, 4,...) 임을 알 수 있다.

 첫 번째 한쪽이 닫힌 관의 경우,  L=( λ /4) x 1 이 되고, 두 번째 경우는   L=( λ /4) x 3 이 되므로 닫힌 관에서 정상파를 갖는 관의 길이   L=( nλ /4) (n = 1, 3, 5, 7,...)가 됨을 알 수 있다.

그림 2 열린관과 닫힌관에서의 정상파의 형태(하찮은 그림실력으로 인한 퀄리티 저하,,,)

 

 

파동의 주파수 f는 파동의 진행속도 v를 파장 λ로 나눈 것이다.

Ⅲ. 실험 방법

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  1. 실험 준비물

   오실로스코프. 스피커, 공명관, 닫힌관 막대, 마이크, 함수 발생기, 긴 구리 막대, BNC 케이블

 

  2. 실험 방법

   1) 긴 구리 막대에 연결한 마이크를 공명관 안에 집어넣는다.

   2) BNC 케이블을 이용해 스피커와 함수를 연결하고 마이크와 오실로스코프를 연결한다.

   3) 닫힌관 실험에서는 마이크를 고정하고 관의 길이를 조정하거나 관의 길이를 고정하고 마이크의 위치를 바꾸어 실험한다.

   4) 마이크를 고정했을 때, 주파수를 고정한 채로 관의 길이를 바꾸어 가면서 진폭이 최대가 될 때의 관의 길이를 기록한다.(300Hz~1kHz 중 하나의 주파수를 선택해 실험한다.)

   5) 소리가 나도록 설정한 상태에서, 막대를 최대한 0에 가깝게 둔 후, 위치를 바꾸어가면서 진폭이 최대가 되는 길이를 찾는다.

   6) 관 길이를 고정했을 때, 주파수를 고정한 채로 마이크의 위치를 바꾸어 가면서 진폭이 최대가 될 때의 마이크 위치를 기록한다.

   7) 얻은 데이터를 통해 파장의 길이와 음파의 속도를 계산한다.

   8) 열린 관 실험에서는 열린 관의 측정되지 않는 길이를 측정하여 총길이를 기록한다.

   9) 약 200Hz~1kHz 범위에서 주파수를 바꾸어 가면서 진폭이 최대가 되는 공명 주파수를 모두 기록한다.

  10) 얻은 데이터를 통해 소리의 속도를 계산한다.

 

 

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Ⅳ. 결과 분석 방법

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  닫힌관 실험에서 측정한 주파수 별 최대 진폭 관 길이를 이용해 식(12)에 대입하여 각 주파수에서의 정상파를 이룰 때의 파장을 계산한다. 식(13)을 이용하여 각 주파수별 소리의 속도를 계산하고,  식(14)을 이용하여 오차율을 계산하고 비교한다.

 닫힌관 실험에서 측정한 최대 진폭 위치를 정상파의 최대 진폭이 나타나는 위치인 배로 추정하여, 평균 반파장을 계산하고, 이를 2배하여 파장을 계산한다. 이 파장값을 이용하여 n값을 구하고, 이론파장과 실험 파장 사이의 오차율을 계산하고 비교한다. n값에 따라 해당 관 내부의 음파가 정상파를 이루고 있는지를 판단할 수 있다.

 

 

 열린관 실험에서는 관 길이를 고정하고, 주파수에 따른 진폭이 최대가 되는 공명 주파수를 기록한다. 식(11)을 용해 열린 관에서 n = 1, 2, 3,... 일 때의 이론적인 파장값을 구할 수 있고, 각각의 공명 주파수 값을 계산한다. n=1일 때의 공명주파수인 f_0를 통해 실험 주파수의 f/f_0 값을 구하고 이를 n값으로 추정할 수 있다.

 열린관에서 L=n λ/2 (n=1,2,3,...)이므로  λ = 2L/n이고 v = f λ이므로, f= nv/2L이다.

식(17)을 이용하여 각각에 대하여 v값을 구하고 이를 평균하여 실제 공기 중 음파의 속도와 오차율을 비교한다.