[일반물리학 실험 #08] RLC 회로 (RLC Circuits)

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Ⅰ. 서론(목적)

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  RLC 회로의 구성과 각 구성요소의 역할, 임피던스의 개념을 이해할 수 있다.

 

 

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Ⅱ. 이론적 배경

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  저항(R, Resistance)은 도체에서 전류의 흐름을 방해하는 정도를 나타내는 물리량이다. 옴의 법칙에 따라, 

이라는 전압과 전류 사이의 관계를 갖는다.
 I=I_0 cos(wt)라고 하면, V=I_0 cos(wt) 가 된다.
  코일(L, Inductance)은 인덕턴스를 가진 전선을 감은 꼴의 수동소자이다. 코일의 전압은 다음과 같은 관계를 갖는다.

   I=I_0 cos(wt) 라고 하면 V_L=-wLI_0 sin(wt) = wLI_0 cos(wt+pi/2)가 된다. 코일의 전압은 저항의 전압과 달리 걸어준 전류의 각진동수에 비례하고 위상차가 존재함을 알 수 있다.
  축전기(C, Capcitance)는 전기 회로에서 전기용량을 전기적 퍼텐셜 에너지로 저장하는 장치이다. 도체판 한쪽에 모이는 전하의 양을 Q라고 하며 다음의 관계를 갖는다.

  '전류의 정의는 시간에 따른 전하량의 변화이므로, 식을 적분으로 나타내어 정리할 수 있다'라고 할 때,

가 된다. 코일의 전압과 달리 축전기의 전압은 걸린 전류의 각진동수에 반비례하고 위상차가 존재함을 알 수 있다.

  RL회로는 저항과 코일로 이루어진 회로이다. RL회로에 키르히호프의 고리 법칙을 시계 방향으로 적용하면,

 ε 는 전지의 기전력(전체 회로에 걸리는 전압)이다. 양변을 R로 나누고 x= ε /R - I로 치환하면,

변수 분리하여 적분하면,

x_0는 t=0일 때의 x이고, t=0일 때 I=0이므로 x_0= ε /R이다.

따라서,

상수  τ 는 회로의 시간 상수로 τ = L/R이다.

그림 1 V_R, V_L, V의 위상차

 저항의 전압과 전류의 위상은 동일하고, 코일의 전압은 전류와 pi/2 만큼의 위상차이가 난다.(코일의 전압의 위상이 pi/2만큼 전류보다 빠르다) 따라서 전체 전압과 전류 사이의 위상차는 θ = cos^(-1)(V_R/V) 로 구할 수 있으며 θ 만큼의 위상차이가 남을 알 수 있다.

RC회로는 축전기와 코일로 이루어진 회로이다. RL회로와 동일하게 전체 회로에 걸린 전압에 대한 식을 세울 수 있다.

  I=dQ/dt이므로,

  양변에 t=0부터, t까지 적분을 취하면,

 t=0일 때의 축전기의 전하량은 0이므로 q(0)=0이다.

양변을 시간에 대해 미분하면, 전류에 관한 식으로 정리할 수 있다.

 RC회로의 시간 상수 τ 는 τ =RC이다.

그림 2 V_R, V_C, V의 위상차

  저항의 전압과 전류의 위상은 동일하고, 축전기의 전압은 전류와 pi/2만큼의 위상차이가 난다.(코일의 전압의 위상이 pi/2만큼 전류보다 느리다) 따라서 전체 전압과 전류 사이의 위상차는 θ = cos^(-1)(V_R/V) 로 구할 수 있으며 θ 만큼의 위상차이가 남을 알 수 있다.
 

  LC회로는 코일과 축전기로 이루어진 회로이다. 초기 상태에서 축전기의 최대 전하를 Q_max라 하면 축전기에 저장된 전체 전기 에너지는 (Q_max)^2/(2C)이다. 전기에너지가 코일의 자기에너지로 모두 저장되기 이전에 중간 지점에서의 에너지 일부는 전기 에너지이고, 일부는 자기 에너지이다.

그림 3 LC회로

 

  회로 내부 저항이 없고, 전자기적인 복사가 없다고 가정할 때, 에너지가 내부 에너지로 전환되지도 않고 회로의 계 외부로 유출되지도 않으므로 계의 전체 에너지는 시간에 무관한 상수 값을 갖는다.

 

 즉, dU/dt=0 이므로.

  i=dq/dt이므로,

  단조화 운동하는 입자의 운동 방정식

와 동일한 형태임을 알 수 있다.

 w=1/(LC)^(1/2)일 때,

단조화 운동하는 입자의 운동 방정식의 일반해와 동일한 형태의 일반해를 가지므로,

  t=0, i=0, q=Q_max 로 가정하였으므로 위상각 φ 는 φ =0이다.

 

따라서,

 

  RLC회로는 저항, 코일, 축전기로 이루어진 회로이다. RL, RC회로와 동일하게 다음과 같이 나타낼 수 있다.

I=I_0 cos(wt)라고 할 때,

  (1/(wc)-wL)^(2)=0이 될 때, Z는 최소가 되고 I는 최대가 된다. 이때의 각진동수 w는 w=1/(LC)^(1/2)가 된다.

이 때의 주파수

를 RLC회로의 공명 주파수라고 한다. 

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Ⅲ. 실험 방법

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1. 실험 준비물

  파스코 RLC 회로, 신호 발생기를 포함하는 인터페이스, 센서, 접지선, 신호선

 

2. 실험 방법

  가. RL회로

    1) 각각 저항의 아래쪽 단자에 접지선을 연결하고 다른 신호선(+극) 코일의 오른쪽 단자에 연결한다.

    2) 전압센서를 A,B 포트에 각각 저항과 코일을 연결해준다. 전압 센서의 접지선과 회로의 접지선이 가깝도록 연결해주고 (+)극 선은 그와 멀도록 각각 연결한다.

    3) Pasco Capstone 프로그램을 연 후, 인터페이스의 각 포트의 센서를 설정하고 신호 발생기를 켠다.

    4) 신호 발생기 설정 탭에서 신호의 주파수와 파형, 전압, 진폭을 설정할 수 있다.

    5) 각각의 전압을 시간에 따라 측정하여 위상차, 전압, 임피던스를 분석한다.

 

  나. RC회로

    1) 각각 저항의 아래쪽 단자에 접지선을 연결하고 다른 신호선(+극) 축전기의 아래쪽 단자에 연결한다.

    2) jumper line을 코일의 양쪽 단자에 연결한다.

    3) 전압센서를 A,B 포트에 각각 저항과 축전기를 연결해준다. 전압 센서의 접지선과 회로의 접지선이 가깝도록 연결해주고 (+)극 선은 그와 멀도록 각각 연결한다.

    4) Pasco Capstone 프로그램을 연 후, 인터페이스의 각 포트의 센서를 설정하고 신호 발생기를 켠다.

    5) 신호 발생기 설정 탭에서 신호의 주파수와 파형, 전압, 진폭을 설정할 수 있다.

    6) 각각의 전압을 시간에 따라 측정하여 위상차, 전압, 임피던스를 분석한다.

 

  다. RLC회로

    1) 회로의 양 끝단(저항의 아래쪽 단자와 축전기의 아래쪽 단자)에 접지선과 신호선을 연결한다.

    2) 전압센서를 A,B,C 포트에 각각 저항, 코일, 축전기를 연결한다. 전압 센서의 접지선과 회로의 접지선이 가깝도록 연결한다.

    3) Pasco Capstone 프로그램을 연 후, 인터페이스의 각 포트의 센서를 설정하고 신호 발생기를 켠다.

    4) 신호 발생기 설정 탭에서 신호의 주파수와 파형, 전압, 진폭을 설정할 수 있다.

    5) 각각의 전압을 시간에 따라 측정하여 위상차, 전압, 임피던스를 분석한다.

 

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Ⅳ. 결과 분석 방법

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 1. RL 회로

  저항에 따른 t-V_0, t-I_0, t-V_R 그래프를 각각 그린다. 그래프 상에서 V_0와 I_0의 위상차와 V_R과 V_L의 위상차를 계산할 수 있다

 w를 구하고 임피던스 Z를 계산할 수 있다.

 

2. RLC회로

  저항에 따른 t-V_R, t-V_L, t-V_0,  t-I_0 그래프를 각각 그린다. 그래프 상에서 V_0와 I_0의 위상차, V_R과 V_L사이의 위상차, V_R과 V_C의 위상차를 계산할 수 있다.

 w를 구하고 임피던스 Z를 계산할 수 있다.